1- Calcular f(3), dada la siguiente tabla:
x= 1,2,4,5
f(x)=0,2,12,21
a) Tomar los puntos 1, 2 y 4 y luego los puntos 2, 4 y 5.
b) Comparar los resultados de (a) . Obtener conclusiones.
2- Calcular f(0), dada la siguiente tabla:
x= 0.1, 0.2, 0.4, 0.8
f(x)= 64987, 62055, 56074, 43609
3- Encontrar el polinomio de grado 3 que pasa por los siguientes puntos y graficar la solución:
x= 4, 6, 8, 10
y= 1, 3, 8, 20
4- Encontrar el polinomio de grado 4 que pasa por los siguientes puntos y graficar la solución:
x= 1, 2, 3, 4, 5
y= 1, -1, 1, -1, 1
5- Encontrar el polinomio de grado 3 que pasa por los siguientes puntos y graficar la solución:
x= 0, 1, 2, 4
y= 1, 1, 2, 5
6- Hallar los valores de (1.01)1/2 y (1.28)1/2, a partir de la siguiente tabla, con 3 dígitos significativos:
x= 1.00, 1.05, 1.10, 1.15, 1.20, 1.25, 1.30
(x)1/2= 1.00000, 1.02470, 1.04881, 1.07238, 1.09544, 1.11803, 1.14017
7- Calcular el sen(0.390736) conociendo la siguiente tabla:
x= 0.390, 0.391, 0.392, 0.393
sen(x)= 0.380188415, 0.381113134, 0.382037472, 0.382961427
Obtener un polinomio interpolante de grado 2 y graficar la solución.
8- Hallar un polinomio Q de grado 3 tal que Q(0)=0, Q'(0)=1, Q(1)=3 y Q'(1)=6, , y graficar la solución.
9- Se conocen los siguientes datos acerca de la función f(x):f(0)=1, f(1)=2, f(2)=5, f'(0)=0 y f'(2)=4Hallar el polinomio interpolante y graficar la solución.
10- Dada la siguiente tabla:
x= 0, 1, 3
f(x)= -1.201, 0.8204, 2.253
Construir el polinomio interpolante Pn(x). Redondear los coeficientes a 4 dígitos y graficar la solución.
11- Dada la siguiente tabla:
x= 0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00
y = 1.0000, 1.2840, 1.6487 , 2.1170, 2.7183
a) Calcular el polinomio interpolante de grado 2, en los nodos 0, 0.5 y 1. Graficar la solución y calcular los errores para cada dato de la tabla.
b) Comparar los resultados obtenidos y determinar cuál solución aproxima mejor a la curva en [0,1].
c) Comparar los resultados obtenidos con la función f(x)=e^x en los puntos 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9.
12- Hallar el polinomio interpolante de grado 2 para f(x)= 1/x, utilizando los nodos x0 = 2, x1 = 2.5 y x2 = 4. Graficar la curva y su aproximación. Analizar para x = 0.5 y x = 1/3.
13- Cada 10 años se realiza un censo de población en los Estados Unidos.La siguiente tabla presenta los resultados entre 1930 y 1980.
Año: 1930, 1940, 1950, 1960, 1970, 1980
Población en miles: 123203, 131669, 150697, 179323, 203212, 226505
a) Hallar el polinomio de grado 5 que aproxime estos datos.
b) Utilizar las aproximaciones anteriores para estimar la población en 1920, 1965 y 2000.
c) Comparar los resultados.
d) La población en 1920 fue de 105.711 millones de habitantes. En base a este dato, indicar qué tan exactos cree usted que son sus resultados de 1965 y 2000.
14- Hallar el polimonio interpolante 5 y estimar el valor para x = 0.34 de la función f(x) = sen x .
x = 0.30, 0.32, 0.35
sen x= 0.29552, 0.31457, 0.34290
a) Determinar una cota de error para la aproximación anterior y comparar con el error real.
b) Agregar sen(0.33) = 0.32404 a los datos y rehacer los cálculos.
c) En ambos casos completar la tabla con los valores de la derivada.
15- Un coche que viaja en una carretera recta es cronometrado en algunos puntos. Los datos obtenidos se dan en la siguiente tabla.Utilice un polinomio para predecir la posición del coche y su velocidad cuando t = 10 segundos.
Tiempo (seg) = 0.00, 3.00, 5.00, 8.00, 13.00
Distancia (m) = 0.00, 67.50, 114.90, 186.90, 297.90
Velocidad (m/s) = 22.50, 23.10, 24.00, 22.20, 21.60
16- Se desea hallar una función polinómica para aproximar a la función f(x)= e^x cos x , en el intervalo 0 <= x <= 2.
a) Tabular f(x) en los nodos x = 0, 0.5, 1 y 2 y hallar el polinomio interpolante. Trabajar con una precisión de 5 dígitos.
b) Agregar el nodo x = 1.5 para hallar una expresión aproximada y utilizarla para estimar el error en x = 0.1, 0.3, 0.8, 1.2, 1.5 y 1.7 .
c) Comparar los errores estimados en el punto anterior con los valores correctos, calculados como diferencia entre el valor correcto de f(x) y el obtenido por medio del polinomio interpolante.
17- Se tiene la función , de la cual se proveen los siguientes valores:
x = 0.0, 0.5, 1.0, 2.0
f(x) = 1.00000, 1.64872, 2.71828, 7.38906,
a) Estimar f(0.25) utilizando interpolación con los nodos xo = 0 y x1 = 0.5 .
b) Estimar f(0.75) utilizando interpolación con los nodos xo = 0.5 y x1 = 1.0.
c) Estimar f(0.25) y f(0.75) utilizando interpolación con los nodos xo = 0 , x1 = 1.0 y x2 = 2.0 .
18- Se desea hallar una función de interpolación polinómica para aproximar la función f(x)=(sen x)^2en el intervalo 0 <= x <= pi .a) Construir un polinomio por interpolación en los nodos 0, pi/2 y pi. Garantizar una precisión de 4 decimales en los coeficientes.b) Estimar el error de truncamiento cometido en 0.2, 0.5, 1 utilizando el punto extra 5pi/4 en la tabla de interpolación. Compararlo con el error "exacto" (valor interpolado – valor provisto por la calculadora).
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